13069. Около прямоугольного треугольника описана окружность. Другая окружность того же радиуса касается катетов этого треугольника, причём одна из точек касания совпадает с вершиной треугольника. Найдите отношение площади треугольника к площади общей части кругов, ограниченных данными окружностями.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{5\pi-3}
.
Решение. Пусть ABC
— прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C
. Тогда гипотенуза AB
— диаметр описанной около него окружности с центром O
в середине AB
. Пусть вторая окружность касается катета AC
в точке A
, катета BC
— в его внутренней точке M
, а D
— вторая общая точка окружностей. Тогда площадь общей части кругов, ограничивающих равные данные окружности, равна удвоенной площади не содержащего точку C
сегмента первого круга, отсекаемого хордой AD
.
Пусть радиусы окружностей равны R
, O'
— центр второй второй окружности, а диаметр AE
этой окружности пересекает первую окружность в точке F
. Тогда AO'MC
— квадрат, поэтому AC=OA=R=\frac{1}{2}AB
. Значит, \angle ABC=30^{\circ}
и \angle60^{\circ}
, а так как AE\parallel BC
, то
\angle BAF=\angle BAE=\angle ABC=30^{\circ}.
Треугольник ABE
равнобедренный, так как AE=2R=AB
. Поскольку
\angle ADB+\angle ADE=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ},
точка D
лежит на отрезке BE
, а AD
— высота, а значит, биссектриса угла BAE
. Тогда точка D
делит пополам дугу BDF
первой окружности.
Поскольку ACBF
— прямоугольник,
\angle BCF=\angle ABC=30^{\circ},~\angle ACF=\angle BAC=60^{\circ},
поэтому
\angle ACD=\angle ACF+\angle DCF=\angle ACF+\frac{1}{2}\angle BCF=60^{\circ}+15^{\circ}=75^{\circ},
а дуга AED
первой окружности равна 150^{\circ}
.
Площадь треугольника AOD
равна \frac{1}{2}R^{2}\sin150^{\circ}=\frac{1}{4}R^{2}
, площадь соответствующего сектора AOD
составляет \frac{5}{6}\cdot2\pi=\frac{5}{12}
площади круга радиуса R
, т. е. равна \frac{5}{12}\pi R^{2}
, площадь сегмента равна разности площадей сектора AOD
и треугольника AOD
, а площадь пересечения кругов вдвое больше. Площадь треугольника ABC
равна \frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}
. Следовательно, искомое отношение площадей равно
\frac{\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}}{2\left(\frac{5}{12}\pi R^{2}-\frac{1}{4}R^{2}\right)}=\frac{3\sqrt{3}}{5\pi-3}.