13083. Дан большой круг, внутри которого находятся n
непересекающихся меньших кругов. Требуется построить круг, площадь которого равна площади большого круга за вычетом площадей всех меньших кругов.
Опишите способ построения искомого круга с помощью циркуля и линейки.
Решение. Пусть R
— радиус данного круга, r_{1},r_{2},\dots,r_{n}
— радиусы лежащих внутри него непересекающихся кругов, а r
— радиус искомого круга. По условию задачи
\pi r^{2}=\pi R^{2}-(\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\dots+\pi r_{n}^{2}),~\mbox{или}~r^{2}=R^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}-\dots-r_{n}^{2}.
Построение искомого отрезка BE
возможно следующим способом. Строим прямоугольный треугольник по гипотенузе R
и катету r_{1}
. Тогда второй катет этого треугольника равен \sqrt{R^{2}-r_{1}^{2}}
. Затем строим прямоугольный треугольник по гипотенузе \sqrt{R^{2}-r_{1}^{2}}
и катету r_{2}
. Тогда второй катет этого треугольника равен \sqrt{R^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}
и т. д. Последний шаг: строим прямоугольный треугольник по гипотенузе
\sqrt{R^{2}-r_{1}^{2}-\dots-r_{n-1}^{2}}
и катету r_{n}
. Тогда второй катет этого треугольника равен радиусу искомого круга, т. е.
\sqrt{R^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}-\dots-r_{n-1}^{2}-r_{n}^{2}}.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 1967, № 3а, вариант 4
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3а, с. 80, вариант 4