13087. В трапеции ABCD
с основаниями AD=12
и BC=8
на луче стороны BC
взята такая точка M
, что прямая CM
делит трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите CM
.
Ответ. \frac{12}{5}
.
Решение. Через точку K
пересечения отрезков AM
и CD
перпендикулярно основаниям трапеции проведём прямую, пересекающую прямые AD
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Обозначим PQ=h
. Тогда высота трапеции равна h
, а так как площадь треугольника AKD
вдвое меньше площади трапеции, то
\frac{1}{2}AD\cdot KP=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(BC+AD)h,~\mbox{или}~\frac{1}{2}\cdot12\cdot KP=\frac{1}{4}(8+12)h,
откуда KP=\frac{5}{6}h
.
Из подобия треугольников MKC
и AKD
находим, что
\frac{CM}{AD}=\frac{KQ}{KP}=\frac{h-\frac{5}{6}h}{\frac{5}{6}h}=\frac{1}{5}.
Следовательно,
CM=\frac{1}{5}AD=\frac{1}{5}\cdot12=\frac{12}{5}.