13088. Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 разделён на три равновеликие части прямыми, перпендикулярными большей стороне. Найдите расстояния до этих прямых от ближайших к ним вершин треугольника, находящихся на большей стороне.
Ответ. \sqrt{42}
и \sqrt{33}
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
со сторонами BC=15
, AC=14
и AB=13
, p=\frac{13+14+15}{2}=21
— полупериметр, AH=h
— высота треугольника. По формуле Герона
S=\sqrt{21(21-15)(21-14)(21-13)}=\sqrt{21\cdot6\cdot7\cdot8}=7\cdot6\cdot2=84.
Тогда
AH=h=\frac{2SS}{BC}=\frac{2\cdot84}{15}=\frac{56}{5}.
Из прямоугольных треугольников AHC
и AHB
находим, что
CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{14^2-\left(\frac{56}{5}\right)^2}=14\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{14\cdot3}{5}=\frac{42}{5},
BH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{13^2-\left(\frac{56}{5}\right)^2}=\frac{3\cdot11}{5}=\frac{33}{5}.
Тогда
S_{\triangle AHC}=\frac{1}{2}CH\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot\frac{42}{5}\cdot\frac{56}{5}=\frac{28\cdot42}{25}\gt28=\frac{1}{3}S,
поэтому прямая PM
, перпендикулярная BC
и отсекающая от треугольника ABC
треугольник CPM
с площадью \frac{1}{3}S
, проходит через точку P
отрезка CH
и точку M
отрезка AC
.
Прямоугольный треугольник MPC
подобен прямоугольному треугольнику AHC
с коэффициентом
k_{1}=\sqrt{\frac{S_{\triangle MPC}}{S_{\triangle AHC}}}=\sqrt{\frac{28}{\frac{28\cdot42}{25}}}=\frac{5}{\sqrt{42}}.
Следовательно,
CP=k_{1}CH=\frac{5}{\sqrt{42}}\cdot\frac{42}{5}=\sqrt{42}.
Аналогично,
S_{\triangle AHB}=\frac{1}{2}BH\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot\frac{33}{5}\cdot\frac{56}{5}=\frac{28\cdot33}{25}\gt28=\frac{1}{3}S,
поэтому прямая QN
, перпендикулярная BC
и отсекающая от треугольника ABC
треугольник CQN
с площадью \frac{1}{3}S
, проходит через точку Q
отрезка BH
и точку N
отрезка AB
.
Прямоугольный треугольник NQB
подобен прямоугольному треугольнику AHB
с коэффициентом
k_{2}=\sqrt{\frac{S_{\triangle NQB}}{S_{\triangle AHB}}}=\sqrt{\frac{28}{\frac{28\cdot33}{25}}}=\frac{5}{\sqrt{33}}.
Следовательно,
CP=k_{2}BH=\frac{5}{\sqrt{33}}\cdot\frac{33}{5}=\sqrt{33}.