13094. Окружность радиуса R
с центром O
разделена точками A
, B
, C
, D
, E
и F
на шесть равных частей. Найдите площадь фигуры COE
, ограниченной дугой OC
с центром в точке B
, дугой OE
с центром в точке F
и дугой CE
с центром в точке A
.
Ответ. \frac{\pi R^{2}}{6}
.
Решение. Диагонали AE
и AC
правильного шестиугольника ABCDEF
равны R\sqrt{3}
, а угол между ними равен 60^{\circ}
, поэтому площадь S_{1}
сектора AEC
окружности с центром O
и радиусом AC=AE
равна
S_{1}=\frac{1}{6}\pi(R\sqrt{3})^{2}=\frac{\pi R^{2}}{2}.
Площадь S_{2}
сегмента, отсекаемого хордой OC=R
от окружности с центром B
радиуса BO=BC=R
равна
S_{2}=\frac{1}{6}\pi R^{2}-\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}.
Площадь S_{3}
треугольника AOC
со сторонами OA=OC=R
и углом 120^{\circ}
между ними равна
S_{3}=\frac{1}{2}R^{2}\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}R^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}.
Следовательно, если S
— искомая площадь фигуры COE
, о которой говорится в условии, то
S=S_{1}-2S_{2}-2S_{3}=\frac{\pi R^{2}}{2}-2\left(\frac{1}{6}\pi R^{2}-\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}\right)-2\cdot\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\pi R^{2}}{6}.