13101. В треугольник с основанием a
вписан квадрат, одна из сторон которого лежит на основании треугольника. Площадь квадрата равна шестой части площади треугольника. Найдите сторону квадрата и высоту треугольника.
Ответ. \frac{a(3+\sqrt{6})}{6}
и a(5+2\sqrt{6})
или \frac{a(3-2\sqrt{6})}{6}
и a(5-2\sqrt{6})
.
Решение. Пусть вершины K
и L
квадрата KLMN
лежат на стороне BC=a
треугольника ABC
, а вершины M
и N
— на сторонах AC
и BC
соответственно. Обозначим через x
сторону квадрата, а через h
— высоту AH
треугольника ABC
. Пусть высота AH
пересекает сторону MN
квадрата в точке P
.
Из условия задачи следует, что
x^{2}=\frac{1}{12}ah~\Leftrightarrow~12x^{2}=ah,
а из подобия треугольников ANM
и ABC
—
\frac{AP}{AH}=\frac{NM}{BC},~\mbox{или}~\frac{h-x}{h}=\frac{x}{a},
откуда
x=\frac{ah}{a+h}=\frac{12x^{2}}{a+h}~\Leftrightarrow~12x=a+h,
поэтому h=12x-a
. Подставив это выражение для h
в равенство 12x^{2}=ah
, получим квадратное уравнение
12x^{2}-12ax+a^{2}=0,
из которого находим, что
x=\frac{a(3+\sqrt{6})}{6}~\mbox{или}~\frac{a(3-\sqrt{6})}{6}.
Тогда соответственно
h=12x-a=2a(3+\sqrt{6})-a=a(5+\sqrt{6})~\mbox{или}~h=12x-a=a(5-\sqrt{6}).
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.420, с. 186