13107. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2:3
. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной окружности удалён от вершины прямого угла на расстояние \sqrt{8}
.
Ответ. 6, 8 и 10.
Решение. Пусть окружность радиуса r
с центром I
, вписанная в прямоугольный треугольник ABC
, касается гипотенузы AB
в точке M
, а катетов AC
и AB
— в точках L
и K
соответственно.
Положим AM=3t
и BM=2t
. Четырёхугольник CKIL
— квадрат с диагональю CI=\sqrt{8}=2\sqrt{2}
, поэтому
CL=CK=IK=r=2.
Тогда
AC=AL+CL=AM+CL=3t+2,
BC=BK+AK=BM+AK=2t+2.
По теореме Пифагора
AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},~\mbox{или}~(3t+2)^{2}+(2t+2)^{2}=25t^{2}.
После очевидных упрощений получим уравнение 3t^{2}-5t+2=0
. Условию задачи удовлетворяет его единственный положительный корень t=2
. Следовательно,
AB=5t=10,~AC=2t+2=6,~BC=3t+2=8.