13112. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, равна
h
, а радиус вписанной окружности равен
r
. Найдите гипотенузу.
Ответ.
\frac{2r^{2}}{h-2r}
.
Решение. Пусть
CH=h
— высота прямоугольного треугольника
ABC
, проведённая из вершины
C
прямого угла,
I
— центр окружности радиуса
r
, вписанной в треугольник
ABC
, а
K
,
L
и
M
— точки касания окружности с катетами
BC
,
AC
и гипотенузой
AB
соответственно. Тогда
IKCL
— квадрат со стороной
r
.
Пусть
S
— площадь треугольника
ABC
,
AB=c
— искомая гипотенуза. Тогда
S=S_{IKCL}+2S_{\triangle AMI}+S_{\triangle BMI}=r^{2}+AM\cdot r+BM\cdot r=

=r^{2}+(AM+BM)r=r^{2}+AB\cdot r=r^{2}+cr.

С другой стороны
S=\frac{1}{2}ch
. Из равенства
r^{2}+cr=\frac{1}{2}ch

находим, что
c=\frac{2r^{2}}{h-2r}.

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.262, с. 176