13112. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, равна h
, а радиус вписанной окружности равен r
. Найдите гипотенузу.
Ответ. \frac{2r^{2}}{h-2r}
.
Решение. Пусть CH=h
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины C
прямого угла, I
— центр окружности радиуса r
, вписанной в треугольник ABC
, а K
, L
и M
— точки касания окружности с катетами BC
, AC
и гипотенузой AB
соответственно. Тогда IKCL
— квадрат со стороной r
.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
, AB=c
— искомая гипотенуза. Тогда
S=S_{IKCL}+2S_{\triangle AMI}+S_{\triangle BMI}=r^{2}+AM\cdot r+BM\cdot r=
=r^{2}+(AM+BM)r=r^{2}+AB\cdot r=r^{2}+cr.
С другой стороны S=\frac{1}{2}ch
. Из равенства
r^{2}+cr=\frac{1}{2}ch
находим, что
c=\frac{2r^{2}}{h-2r}.