13113. На отрезке AB
взята точка C
. На отрезках AC
и CB
как на диаметрах построены полуокружности. Докажите, что сумма длин этих полуокружностей не зависит от положения точки C
на отрезке AB
.
Решение. Пусть r=\frac{1}{2}AC
и R=\frac{1}{2}CB
— радиусы полуокружностей, а l_{1}
и l_{2}
— длины полуокружностей. Тогда
l_{1}+l_{2}=\pi r+\pi R=\frac{1}{2}\pi AC+\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}\pi(AC+CB)=\frac{1}{2}\pi AB.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.267, с. 176