13120. В равносторонний треугольник ABC
вписан равносторонний треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
; точка A_{1}
лежит на стороне BC
, точка B_{1}
— на стороне AC
, точка C_{1}
— на стороне AB
. Угол A_{1}B_{1}C
равен \alpha
. Найдите отношение AB
и A_{1}B_{1}
.
Ответ. 2\cos(\alpha-60^{\circ})=2\sin(\alpha+30^{\circ})
.
Решение. Заметим, что
\angle BA_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle B_{1}A_{1}C_{1}-\angle CA_{1}B_{1}=180^{\circ}-60^{\circ}-\angle CA_{1}B_{1}=
=120^{\circ}-\angle CA_{1}B_{1}=\angle CB_{1}A_{1}=\alpha
и аналогично,
\angle BC_{1}A_{1}=\angle CA_{1}B_{1}=120^{\circ}-\alpha.
Обозначим AB=a
, A_{1}B_{1}=b
. По теореме синусов
\frac{CA_{1}}{\sin\angle CB_{1}A_{1}}=\frac{A_{1}B_{1}}{\sin\angle A_{1}CB_{1}}~\mbox{и}~\frac{BA_{1}}{\sin\angle BC_{1}A_{1}}=\frac{A_{1}C_{1}}{\sin\angle A_{1}BC_{1}},
откуда
CA_{1}=\frac{A_{1}B_{1}\sin\angle CB_{1}A_{1}}{\sin\angle A_{1}CB_{1}}=\frac{b\sin\alpha}{\sin60^{\circ}}
и
BA_{1}=\frac{A_{1}C_{1}\sin BC_{1}A_{1}}{\sin\angle A_{1}BC_{1}}=\frac{b\sin(120^{\circ}-\alpha)}{\sin60^{\circ}}.
Тогда
a=BC=BA_{1}+CA_{1}=\frac{b\sin(120^{\circ}-\alpha)}{\sin60^{\circ}}+\frac{b\sin\alpha}{\sin60^{\circ}}=
=\frac{b(\sin(120^{\circ}-\alpha)+\sin\alpha)}{\sin60^{\circ}}=\frac{2b\sin60^{\circ}\cos(60^{\circ}-\alpha)}{\sin60^{\circ}}=2b\cos(60^{\circ}-\alpha).
Следовательно,
\frac{a}{b}=2\cos(60^{\circ}-\alpha)=2\sin(90^{\circ}-(60^{\circ}-\alpha))=\sin(\alpha+30^{\circ}).
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.139, с. 222