13123. В треугольнике ABC
проведена высота CH
и на ней как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC
и BC
в точках K
и L
соответственно. Найдите отношение площади треугольника KLH
к площади треугольника ABC
, если \angle A=\alpha
и \angle B=\beta
.
Ответ. \frac{1}{4}|\sin2\alpha\sin2\beta|
.
Решение. Обозначим CH=h
.
Рассмотрим случай, когда точка H
лежит на отрезке AB
, а не его продолжении (рис. 1).
Точка K
лежит на окружности с диаметром CH
, поэтому \angle CKH=90^{\circ}
, т. е. HK
— высота прямоугольного треугольника CKH
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
\angle CHK=\angle CAH=\alpha,~HK=CH\cos\angle CHK=h\cos\alpha.
Аналогично, HL=h\cos\beta
, а так как \angle KHL=\alpha+\beta
, то
S_{\triangle KLH}=\frac{1}{2}HK\cdot HL\sin\angle KHL=\frac{1}{2}h^{2}\cos\alpha\cos\beta\sin(\alpha+\beta).
Точка H
лежит на стороне AB
, поэтому
AB=AH+HB=h\ctg\alpha+h\ctg\beta=h(\ctg\alpha+\ctg\beta)=\frac{h\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}.
Значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}h^{2}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle KLH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{1}{2}h^{2}\cos\alpha\cos\beta\sin(\alpha+\beta)}{\frac{1}{2}h^{2}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}}=\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta=
=\frac{1}{4}\sin2\alpha\sin2\beta.
Пусть точка H
лежит на продолжении стороны AB
за точку B
(рис. 2). Тогда
HK=h\cos\alpha,~HL=h\cos(180^{\circ}-\beta)=-h\cos\beta,
S_{\triangle KLH}=\frac{1}{2}HK\cdot HL\sin\angle KHL=-\frac{1}{2}h^{2}\cos\alpha\cos\beta\sin(180^{\circ}-\beta-\alpha)=
=-\frac{1}{2}h^{2}\cos\alpha\cos\beta\sin(\alpha+\beta),
AB=AH-HB=h\ctg\alpha-h\ctg(180^{\circ}-\beta)=h(\ctg\alpha+\ctg\beta)=\frac{h\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CH\cdot AB=\frac{1}{2}h^{2}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle KLH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{-\frac{1}{2}h^{2}\cos\alpha\cos\beta\sin(\alpha+\beta)}{\frac{1}{2}h^{2}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}}=-\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta=
=-\frac{1}{4}\sin2\alpha\sin2\beta.
Аналогично для случая, когда точка H
лежит на продолжении стороны AB
за точку A
.
