13125. Внутри угла, равного \alpha
, расположена точка на расстоянии a
от вершины угла и на расстоянии b
от одной стороны угла. Найдите расстояние от этой точки до второй стороны угла.
Ответ. \sqrt{a^{2}-b^{2}}\sin\alpha-b\cos\alpha
.
Решение. Пусть O
— вершина данного угла, A
и B
— проекции точки M
, расположенной внутри угла, на его стороны, причём OM=a
и MB=b
. Обозначим \angle BOM=\beta
.
Из прямоугольного треугольника ABM
находим, что \sin\beta=\frac{b}{a}
. Следовательно,
MA=OM\sin\angle AOM=a\sin(\alpha-\beta)=a(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)=
=a\left(\sin\alpha\cdot\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}-\frac{b}{a}\cdot\cos\alpha\right)=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\sin\alpha-b\cos\alpha.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.177, с. 224