13128. Угол при вершине A
треугольника ABC
равен \alpha
, BC=a
. Найдите биссектрису AD
треугольника, если угол между этой биссектрисой и высотой AH
равен \beta
.
Ответ. \frac{a\cos\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha\cos\beta}=\frac{\cos\alpha+\cos2\beta}{2\sin\alpha\cos\beta}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка H
лежит между точками C
и D
.
Из прямоугольных треугольников AHC
и AHB
находим, что
\angle ACH=90^{\circ}-\angle CAH=90^{\circ}-\left(\frac{\alpha}{2}-\beta\right),
\angle ABH=90^{\circ}-\angle BAH=90^{\circ}-\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right).
По теореме синусов \frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BC}{\angle BAC}
, откуда
AC=\frac{BC\sin\angle ABC}{\sin\angle BAC}=\frac{a\sin\left(90^{\circ}-\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)\right)}{\sin\alpha}=\frac{a\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)}{\sin\alpha}.
Из прямоугольного треугольника AHC
получаем, что
AH=AC\sin\angle ACH=\frac{a\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)}{\sin\alpha}\cdot\sin\left(90^{\circ}-\left(\frac{\alpha}{2}-\beta\right)\right)=
=\frac{a\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\beta\right)}{\sin\alpha}=\frac{a\cos\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha}.
Следовательно, из прямоугольного треугольника AHD
находим, что
AD=\frac{AH}{\cos\angle DAH}=\frac{\frac{a\cos\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha}}{\cos\beta}=
=\frac{a\cos\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha\cos\beta}=\frac{\cos\alpha+\cos2\beta}{2\sin\alpha\cos\beta}.
Тот же результат для случая, когда точка H
лежит между B
и D
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.173, с. 224