13129. Равнобедренный треугольник с углом \alpha
при вершине пересечён прямой, проходящей через вершину угла при основанием и составляющей с основанием угол \beta
. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника?
Ответ. \frac{\cos\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\beta}
.
Решение. Обозначим через a
основание BC
данного равнобедренного треугольника ABC
. Пусть прямая, проходящая через точку B
, пересекает боковую сторону AC
в точке M
. Тогда
\angle ACB=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle BMC=180^{\circ}-\angle CBM-\angle ACB=
=180^{\circ}-\beta-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}-\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)
По теореме синусов \frac{MC}{\sin\angle CBM}=\frac{BC}{\sin\angle BMC}
, откуда
MC=\frac{BC\sin\angle CBM}{\sin\angle BMC}=\frac{a\sin\beta}{\sin\left(90^{\circ}-\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)\right)}=\frac{a\sin\beta}{\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}.
Тогда
AM=AC-MC=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}-\frac{a\sin\beta}{\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{a\left(\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)-2\sin\beta\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}=
=\frac{a\left(\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)-\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)+\cos\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)\right)}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{a\cos\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle CMB}}=\frac{AM}{MC}=\frac{\frac{a\cos\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}}{\frac{a\sin\beta}{\cos\left(\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}}=\frac{\cos\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\beta}.