1313. Докажите, что если стороны пятиугольника в порядке обхода равны 4, 6, 8, 7 и 9, то его стороны не могут касаться одной окружности.
Указание. Обозначьте через x
один из искомых отрезков и выразите последовательно через x
отрезки, на которые точки касания делят стороны пятиугольника.
Решение. Предположим, что все стороны данного пятиугольника ABCDE
(AB=6
, BC=8
, CD=7
, DE=9
, EA=4
) касаются некоторой окружности. Обозначим касательные, выходящие из вершины A
, через x
. «Обойдём» наш пятиугольник, выражая последовательно длины касательных из вершин B
(равны 6-x
), C
(равны 8-(6-x)=2+x)
, D
(равны 7-(2+x)=5-x)
и E
(равны 9-(5-x)=4+x)
. Получим, что сторона AE
точкой касания делится на отрезки x
и 4+x
, т. е. x=0
, что невозможно.