13131. Площадь равнобедренного тупоугольного треугольника равна 8, а медиана, проведённая к его боковой стороне равна \sqrt{37}
. Найдите косинус угла при вершине.
Ответ. -\frac{3}{5}
.
Решение. Ясно, что тупой угол — это угол при вершине данного равнобедренного треугольника ABC
. Пусть это угол BAC
. Обозначим его через \alpha
, а боковые стороны AB
и AC
— через a
. Тогда
8=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha=\frac{1}{2}a^{2}\sin\alpha,
откуда a^{2}=\frac{16}{\sin\alpha}
.
Пусть BM=\sqrt{37}
— медиана треугольника ABC
. По теореме косинусов из треугольника ABM
получаем
37=BM^{2}=a^{2}+\frac{a^{2}}{4}-2a\cdot\frac{a}{2}\cos\alpha=a^{2}\left(\frac{5}{4}-\cos\alpha\right)=\frac{16}{\sin\alpha}\left(\frac{5}{4}-\cos\alpha\right),
или
37\sin\alpha=20-16\cos\alpha.
Обозначим \tg\frac{\alpha}{2}=t
. Тогда
\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^{2}},~\cos\alpha=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
Получим уравнение
\frac{74t}{1+t^{2}}=20-\frac{16(1-t^{2})}{1+t^{2}},
которое после очевидных упрощений сводится к квадратному уравнению 18t^{2}-37t+2=0
, или (t-2)\left(t-\frac{1}{18}\right)=0
.
Если t=\frac{1}{18}
, то
\cos\alpha=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{1-\frac{1}{324}}{1+\frac{1}{324}}\gt0,
что не удовлетворяет условию задачи (\cos\alpha\lt0
, так как \alpha\gt90^{\circ}
). Если t=2
, то
\cos\alpha=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.183, с. 225