13132. Точки A
, B
, C
и D
последовательно расположены на прямой, причём AB\lt BC\lt CD
. На отрезках AB
, BC
и CD
по одну сторону от прямой AD
построены полуокружности. Некоторая прямая касается этих полуокружностей в точках E
, F
и K
соответственно. Точка H
— проекция точки F
на прямую AD
. Докажите, что \frac{1}{FH}=\frac{1}{EF}+\frac{1}{FK}
.
Решение. Обозначим EF=a
, FK=b
и FH=x
. Пусть M
— точка пересечения EF
с общей касательной двух первых полуокружностей, проведённой в точке B
, а N
— точка пересечения FK
с общей касательной второй и третьей полуокружностей, проведённой в точке C
. Тогда
ME=MB=MF=\frac{a}{2},~NF=NC=NK=\frac{b}{2}.
При этом BM\parallel HF\parallel NC
.
Опустим перпендикуляры MF_{1}
и FN_{1}
на FH
и NC
соответственно. Прямоугольные треугольники MF_{1}F
и FN_{1}N
подобны, а HF_{1}=MB
и CN_{1}=FH=x
, так как BMF_{1}H
и HFN_{1}C
— прямоугольники. Значит,
\frac{MF}{FF_{1}}=\frac{FN}{NN_{1}},~\mbox{или}~\frac{\frac{a}{2}}{x-\frac{a}{2}}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{b}{2}-x}.
Следовательно, x(a+b)=ab
, откуда
\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2021, № 7, задача 4620, с. 368