13134. Прямая, перпендикулярная хорде сегмента, делит хорду в отношении 1:4
, а дугу — в отношении 1:2
. Найдите косинус центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Ответ. -\frac{23}{27}
.
Решение. Пусть хорда AD
окружности с центром O
отсекает от неё сегмент, а прямая, проходящая через точку B
дуги сегмента перпендикулярно AD
, делит хорду AD
точкой H
в отношении AH:HD=1:4
, а дугу ABD
— в отношении \smile AB:\smile BD=1:2
.
Рассмотрим вписанную в данную окружность равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
и высотой BH
. Положим
AH=t,~DH=4t,~\angle AOB=\alpha,~\angle BOD=2\alpha.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому
\angle COD=\angle AOB=\frac{1}{2}\angle BOD=\angle BOC.
Значит,
\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BOD=\frac{1}{2}\cdot2\alpha=\alpha.
Равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому
CD=AB=BC=3t.
Из прямоугольного треугольника ABH
получаем
\cos\alpha=\cos\angle BAH=\frac{AH}{AB}=\frac{t}{3t}=\frac{1}{3}.
Следовательно,
\cos(\angle AOB+\angle BOC+\angle COD)=\cos3\alpha=
=4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha=\frac{4}{27}-1=-\frac{23}{27}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.407, с. 244