13136. Тангенс угла между медианой и высотой, проведёнными к боковой стороне равнобедренного треугольника, равен \frac{1}{2}
. Найдите синус угла при вершине.
Ответ. 1 или \frac{3}{5}
.
Решение. Пусть BM
и BH
— соответственно медиана и высота равнобедренного треугольника ABC
с вершиной A
, проведённые к боковой стороне BC
, а \tg\angle MBH=\frac{1}{2}
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, AB=BC=a
, S_{\triangle ABC}=S
, MH=t
. Тогда
BH=2t,~BM=t\sqrt{5},~S=\frac{1}{2}AC\cdot BH=2at,
S=\frac{1}{2}AC\cdot AB\sin\angle BAC=2a^{2}\sin\alpha.
Из равенства 2a^{2}\sin\alpha=2at
получаем, что t=a\sin\alpha
.
По теореме косинусов
5t^{2}=BM^{2}=AB^{2}+AM^{2}-2AM\cdot AM\cos\alpha=
=4a^{2}+a^{2}-4a^{2}\cos\alpha=5a^{2}-4a^{2}\cos\alpha,
а так как t=a\sin\alpha
, то
5a^{2}\sin^{2}\alpha=5a^{2}-4a^{2}\cos\alpha~\Rightarrow~
\Rightarrow~5(1-\cos^{2}\alpha)=5-4\cos\alpha~\Rightarrow~\cos\alpha(5\cos\alpha-4)=0,
откуда \cos\alpha=0
или \cos\alpha=\frac{4}{5}
. Следовательно, \sin\alpha=1
или \sin\alpha=\frac{3}{5}
.
Из равенства