13138. В сектор POQ
радиуса R
с центральным углом \alpha
вписан прямоугольник. Две его вершины лежат на дуге сектора, две другие на радиусах OP
и OQ
. Найдите площадь прямоугольника, если угол между его диагоналями равен \beta
.
Ответ. \frac{4R^{2}\tg^{2}\frac{\beta}{2}}{1+\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+2\tg\frac{\beta}{2}\right)^{2}}
.
Решение. Пусть вершины K
и L
прямоугольника KLMN
с центром U
лежат на дуге сектора, а вершины M
и N
— на радиусах OQ
и OP
соответственно. Опишем окружность около прямоугольника и дополним до окружности данный сектор. У полученных таким образом пересекающихся окружностей отрезок KL
— общая хорда. Она перпендикулярна линии центров OU
этих окружностей. Значит, прямая OU
перпендикулярна сторонам KL
и MN
прямоугольника KLMN
и параллельна сторонам KN
и LM
.
Пусть прямая OU
пересекает отрезки MN
и KL
в точках A
и B
соответственно, а дугу сектора — в точке C
. Тогда A
и B
— середины сторон MN
и KL
(см. задачу 1676). Обозначим MN=KL=x
, KN=LM=y
. Пусть \angle KUN=\beta
. Поскольку KUN
— внешний угол равнобедренного треугольника MON
, то \angle KMN=\frac{\beta}{2}
, поэтому
y=KN=MN\tg\frac{\beta}{2}=x\tg\frac{\beta}{2}.
Из прямоугольного треугольника OAM
получаем
OA=AM\ctg\angle AOM=\frac{x}{2}\ctg\frac{\alpha}{2},
тогда
OB=OA+AB=\frac{x}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}+y.
Пусть продолжение радиуса CO
пересекает окружность радиуса R
в точке D
. Тогда \angle CKD=90^{\circ}
, а KB=\frac{x}{2}
— высота прямоугольного треугольника DKL
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
KB^{2}=DB\cdot BC=(OD+OB)(OC-OB)=
=(R+OB)(R-OB)=R^{2}-OB^{2},
или
\frac{x^{2}}{4}=R^{2}-\left(\frac{x}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}+y\right)^{2}=R^{2}-\left(\frac{x}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}+x\tg\frac{\beta}{2}\right)^{2}=
=R^{2}-\frac{x^{2}}{4}\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+2\tg\frac{\beta}{2}\right)^{2},
откуда
x=\frac{2R}{\sqrt{1+\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+2\tg\frac{\beta}{2}\right)^{2}}}.
Тогда
y=x\tg\frac{\beta}{2}=\frac{2R\tg\frac{\beta}{2}}{\sqrt{1+\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+2\tg\frac{\beta}{2}\right)^{2}}}.
Следовательно,
S_{KLMN}=xy=\frac{4R^{2}\tg\frac{\beta}{2}}{1+\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+2\tg\frac{\beta}{2}\right)^{2}}.
Если \angle MUN=\beta
, то аналогично получим
S_{KLMN}=xy=\frac{4R^{2}\ctg\frac{\beta}{2}}{1+\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+2\ctg\frac{\beta}{2}\right)^{2}}.