13140. В сегмент окружности радиуса R
вписаны две равные окружности, касающиеся друг друга, дуги сегмента и его хорды. Найдите радиусы этих окружностей, если центральный угол, опирающийся на дугу сегмента, равен \alpha
(\alpha\lt180^{\circ}
).
Ответ. 4R\cos\frac{\alpha}{4}\sin^{2}\frac{\alpha}{8}=R\sin\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\alpha}{8}
.
Решение. Первый способ. Пусть DF
— хорда сегмента данной окружности радиуса R
с центром O
; O_{1}
и O_{2}
— центры касающихся в точке E
равных окружностей искомого радиуса r
; N
— точка касания окружностей с центрами O
и O_{1}
. Из симметрии следует, что прямая OE
содержит диаметр AB
данной окружности с центром O
, перпендикулярный хорде DF
. Задача сводится к нахождению радиуса r
окружности с центром O_{1}
, вписанной в криволинейный треугольник ADC
.
Пусть C
— точка пересечения AB
и DF
, т. е. середина хорды сегмента, а точка A
лежит на дуге сегмента. Рассмотрим прямоугольный треугольник OO_{1}E
с гипотенузой
OO_{1}=ON-O_{1}N=R-r,
и катетами
O_{1}E=r,~OE=OC+CE=OD\cos\angle COD+r=R\cos\frac{\alpha}{2}+r.
По теореме Пифагора
O_{1}E^{2}+OE^{2}=ON^{2},~\mbox{или}~r^{2}+\left(R\cos\frac{\alpha}{2}+r\right)^{2}=(R-r)^{2},
r^{2}+2rR\left(1+\cos\frac{\alpha}{2}\right)-R^{2}\left(1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\right)=0.
Условию задачи удовлетворяет положительный (а значит, больший) корень этого уравнения, т. е.
r=-R\left(1+\cos\frac{\alpha}{2}\right)+\sqrt{R^{2}\left(1+\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{2}+R^{2}\left(1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\right)}=
=R\left(\sqrt{\left(1+\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{2}+\left(1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\right)}-\left(1+\cos\frac{\alpha}{2}\right)\right)=
=R\left(\sqrt{2+2\cos\frac{\alpha}{2}}-1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)=R\left(2\cos\frac{\alpha}{4}-2\cos^{2}\frac{\alpha}{4}\right)=
=2R\cos\frac{\alpha}{4}\left(1-\cos\frac{\alpha}{4}\right)=4R\cos\frac{\alpha}{4}\sin^{2}\frac{\alpha}{8}.
Второй способ. Отрезок DE
— биссектриса прямоугольного треугольника ACD
(см. задачу 2894). Поскольку точка D
лежит на окружности с диаметром AB
, треугольник ADB
прямоугольный. Отрезок DC
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
\angle ADC=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle DBF=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\angle DOF=\frac{\alpha}{4},
Значит,
\angle CDE=\frac{1}{2}\angle ADC=\frac{\alpha}{8}.
Из прямоугольного треугольника DCO
и DCE
получаем
CD=OD\sin\angle COD=R\sin\frac{\alpha}{2},~
Следовательно,
r=CD\tg\angle CDE=R\sin\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\alpha}{8}.
Примечание. Полученные в разных способах результаты совпадают, так как
4R\cos\frac{\alpha}{4}\sin^{2}\frac{\alpha}{8}=R\sin\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\alpha}{8}~\Leftrightarrow~4\cos\frac{\alpha}{4}\sin^{2}\frac{\alpha}{8}=\sin\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\alpha}{8}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~4\cos\frac{\alpha}{4}\sin^{2}\frac{\alpha}{8}=2\sin\frac{\alpha}{4}\cos\frac{\alpha}{4}\cdot\frac{\sin\frac{\alpha}{8}}{\cos\frac{\alpha}{8}}~\Leftrightarrow~2\cos\frac{\alpha}{8}\sin^{2}\frac{\alpha}{8}=\sin\frac{\alpha}{4}{\sin\frac{\alpha}{8}}~\Leftrightarrow
~\Leftrightarrow~\sin\frac{\alpha}{4}{\sin\frac{\alpha}{8}}=\sin\frac{\alpha}{4}{\sin\frac{\alpha}{8}}.