13143. В равносторонний треугольник ABC
вписан равносторонний треугольник EDF
; точка D
лежит на стороне BC
, точка E
— на стороне AC
, а точка F
— на стороне AB
. Сторона AB
относится к стороне DF
как 8:5
. Найдите синус угла DEC
.
Ответ. \frac{4\sqrt{3}\pm3}{10}
.
Решение. Положим AB=8t
, DF=3t
, \angle DEC=\alpha
(0^{\circ}\lt\alpha\lt120^{\circ})
. Тогда
\angle AEF=180^{\circ}-\angle DEF-\angle DEC=180^{\circ}-60^{\circ}-\alpha=120^{\circ}-\alpha,
\angle CDE=180^{\circ}-\angle CED-\angle DCE=180^{\circ}-\alpha-60^{\circ}=120^{\circ}-\alpha.
Аналогично,
\angle BFD=120^{\circ}-\alpha,~\angle AFE=\alpha.
Применив теорему синусов к треугольникам AEF
и BFD
получим
\frac{EF}{\sin60^{\circ}}=\frac{AF}{\sin(120^{\circ}-\alpha)},~\frac{DF}{\sin60^{\circ}}=\frac{BF}{\sin\alpha},
откуда
AF=\frac{2EF\sin(120^{\circ}-\alpha)}{\sqrt{3}},~BF=\frac{2DF\sin\alpha}{\sqrt{3}}.
Тогда
8t=AB=AF+BF=\frac{2\cdot5t\sin(120^{\circ}-\alpha)}{\sqrt{3}}+\frac{2\cdot5t\sin\alpha}{\sqrt{3}},
поэтому
\sin(120^{\circ}-\alpha)+\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{5},~\mbox{или}~2\sin60^{\circ}\cos(60^{\circ}-\alpha)=\frac{4\sqrt{3}}{5},
\cos(60^{\circ}-\alpha)=\frac{4}{5}.
Если 0^{\circ}\lt\alpha\lt60^{\circ}
, то 0^{\circ}\lt60^{\circ}-\alpha\lt60^{\circ}
. Значит, 60^{\circ}-\alpha=\arccos\frac{4}{5}
. Следовательно,
\sin\alpha=\sin\left(60^{\circ}-\arccos\frac{4}{5}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{4}{5}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}.
Если 60^{\circ}\lt\alpha\lt120^{\circ}
, то -60^{\circ}\lt60^{\circ}-\alpha\lt0^{\circ}
. Значит, 60^{\circ}-\alpha=-\arccos\frac{4}{5}
. Следовательно,
\sin\alpha=\sin\left(60^{\circ}+\arccos\frac{4}{5}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{4\sqrt{3}+3}{10}.