13148. Углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC
, AB
и AB
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Высота BH
равна h
. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Точки её пересечения со сторонами AB
и BC
соединены с точкой H
. Найдите площадь полученного четырёхугольника.
Ответ. \frac{1}{2}h^{2}\sin\beta\cos(\alpha-\gamma)
.
Решение. Пусть окружность с диаметром BH
пересекает стороны AB
и BC
в точках D
и E
соответственно. Тогда HD
и HE
— высоты прямоугольных треугольников AHB
и CHB
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому
\angle BHD=\angle BAC=\alpha,~\angle BHE=\angle BCA=\gamma.
Из прямоугольных треугольников BDH
и BEH
получаем
DH=BH\cos\alpha=h\cos\alpha,~EH=BH\cos\gamma=h\cos\gamma.
Следовательно,
S_{BDHE}=S_{\triangle BDH}+S_{\triangle BEH}=\frac{1}{2}BH\cdot DH\sin\alpha+\frac{1}{2}BH\cdot EH\sin\gamma=
=\frac{1}{2}h\cdot DH\sin\alpha+\frac{1}{2}h\cdot EH\sin\gamma=\frac{1}{2}h^{2}\cos\alpha\sin\alpha+\frac{1}{2}h^{2}\cos\gamma\sin\gamma=
=\frac{1}{4}h^{2}(\sin2\alpha+\sin2\gamma)=\frac{1}{2}h^{2}\sin(\alpha+\gamma)\cos(\alpha-\gamma)=
=\frac{1}{2}h^{2}\sin(180^{\circ}-\beta)\cos(\alpha-\gamma)=\frac{1}{2}h^{2}\sin\beta\cos(\alpha-\gamma).