13151. Стороны параллелограмма равны a
и b
(a\lt b
). Меньшая диагональ образует с меньшей стороной тупой угол, а с большей стороной — угол \alpha
. Найдите большую диагональ параллелограмма.
Ответ. \sqrt{a^{2}+b(b+2\cos\alpha\sqrt{a^{2}-b^{2}\sin^{2}\alpha}+2b\sin^{2}\alpha)}
.
Решение. Пусть BD
— меньшая диагональ параллелограмма ABCD
со сторонами AB=a
и BC=b\gt a
, а \angle CBD=\alpha
. Обозначим \beta=\angle ABD\gt90^{\circ}
.
Из треугольника ABD
по теореме синусов находим, что
\sin\beta=\frac{AD}{AB}\sin\angle ABD=\frac{b}{a}\sin\alpha,
а так как угол ABD
тупой, то
\cos\beta=-\sqrt{1-\sin^{2}\beta}=-\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\sin^{2}\alpha}=-\frac{1}{a}\sqrt{a^{2}-b^{2}\sin^{2}\alpha}.
Тогда по теореме косинусов
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\angle ABC=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha+\beta)=
=a^{2}+b^{2}-2ab(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)=
=a^{2}+b^{2}-2ab\left(-\cos\alpha\cdot\frac{1}{a}\sqrt{a^{2}-b^{2}\sin^{2}\alpha}-\frac{b}{a}\sin^{2}\alpha\right)=
=a^{2}+b(b+2\cos\alpha\sqrt{a^{2}-b^{2}\sin^{2}\alpha}+2b\sin^{2}\alpha).
Следовательно,
AC=\sqrt{a^{2}+b(b+2\cos\alpha\sqrt{a^{2}-b^{2}\sin^{2}\alpha}+2b\sin^{2}\alpha)}.