1316. Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника. Известно, что радиусы окружностей, описанных около этих четырёх треугольников, равны между собой. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Указание. Углы, вписанные в равные окружности и опирающиеся на равные хорды, либо равны, либо в сумме дают 180^{\circ}
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Поскольку углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну хорду, либо равны, либо в сумме дают 180^{\circ}
, то углы, вписанные в равные окружности и опирающиеся на равные хорды, также либо равны, либо в сумме дают 180^{\circ}
. Окружности, описанные около треугольников ABM
и ADM
, равны, но сумма углов ABM
и ADM
не может равняться 180^{\circ}
. Следовательно, \angle ABM=\angle ADM
, AB=AD
. Далее аналогично.