13160. Произведение оснований трапеции равно 18. Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё вписана окружность, а диагонали делят среднюю линию на три равные части.
Ответ. 18
.
Решение. Пусть ABCD
— данная трапеция с основаниями AD=a
и BC=b
(a\lt b
). Диагональ AC
разбивает трапецию на треугольники ABC
и ACD
. Средняя линия треугольника ABC
, параллельная BC
, равна \frac{a}{2}
, а средняя линия треугольника ACD
, параллельная AD
равна \frac{b}{2}
. Из условия следует что вторая из этих средних линий вдвое больше первой, поэтому отрезок AD
вдвое больше отрезка AD
, т. е. b=2a
. Тогда ab=2a^{2}=18
, откуда a=3
, b=6
.
Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма её боковых сторон равна сумме оснований, следовательно, периметр трапеции равен
2(a+b)=2\cdot(3+6)=18.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2020, задача 5, вариант 205