13162. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отмечены точки D
и E
таким образом, что AD:DB=BE:EA=1:4
. Найдите AB
, если известно, что площадь треугольника ABC
равна 18, а тангенс угла DCE
равен \frac{5}{3}
.
Ответ. 9.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle DCE=\varphi
, а S=18
— площадь треугольника ABC
. Опустим перпендикуляры DK
и EL
на катет AC
. Тогда
CK=\frac{4}{5}AC=\frac{4}{5}b,~CL=\frac{1}{5}AC=\frac{1}{5}b,
KD=\frac{1}{5}BC=\frac{1}{5}a,~EL=\frac{4}{5}BC=\frac{4}{5}a.
Из прямоугольных треугольников CLE
и CKD
получаем
\tg\angle ACE=\tg\angle LCE=\frac{EL}{CL}=\frac{\frac{4}{5}a}{\frac{1}{5}b}=\frac{4a}{b},
\tg\angle ACD=\tg\angle KCD=\frac{KD}{CK}=\frac{\frac{1}{5}a}{\frac{4}{5}b}=\frac{a}{4b}.
Тогда
\frac{5}{3}=\tg\angle DCE=\tg(\angle ACE-\angle ACD)=\frac{\tg\angle ACE-\tg\angle ACD}{1+\tg\angle ACE\cdot\tg\angle ACD}=
=\frac{\frac{4a}{b}-\frac{a}{4b}}{1+\frac{4a}{b}\cdot\frac{a}{4b}}=\frac{15ab}{4(a^{2}+b^{2})}=\frac{15ab}{4c^{2}}=\frac{15\cdot2S}{4c^{2}}=\frac{15\cdot36}{4c^{2}}=\frac{15\cdot9}{c^{2}},
откуда находим, что
AB^{2}=c^{2}=81.
Следовательно, AB=c=9
.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2019, задача 5, вариант 1