13163. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отмечены точки D
и E
таким образом, что AD:DB=BE:EA=1:5
. Найдите AB
, если известно, что площадь треугольника ABC
равна 30, а тангенс угла DCE
равен 2.
Ответ. 12.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle DCE=\varphi
, а S=30
— площадь треугольника ABC
. Опустим перпендикуляры DK
и EL
на катет AC
. Тогда
CK=\frac{5}{6}AC=\frac{5}{6}b,~CL=\frac{1}{6}AC=\frac{1}{6}b,
KD=\frac{1}{6}BC=\frac{1}{6}a,~EL=\frac{5}{6}BC=\frac{5}{6}a.
Из прямоугольных треугольников CLE
и CKD
получаем
\tg\angle ACE=\tg\angle LCE=\frac{EL}{CL}=\frac{\frac{5}{6}a}{\frac{1}{6}b}=\frac{5a}{b},
\tg\angle ACD=\tg\angle KCD=\frac{KD}{CK}=\frac{\frac{1}{6}a}{\frac{5}{6}b}=\frac{a}{5b}.
Тогда
2=\tg\angle DCE=\tg(\angle ACE-\angle ACD)=\frac{\tg\angle ACE-\tg\angle ACD}{1+\tg\angle ACE\cdot\tg\angle ACD}=
=\frac{\frac{5a}{b}-\frac{a}{5b}}{1+\frac{5a}{b}\cdot\frac{a}{5b}}=\frac{24ab}{5(a^{2}+b^{2})}=\frac{24ab}{5c^{2}}=\frac{24\cdot2S}{5c^{2}}=\frac{24\cdot60}{5c^{2}}=\frac{24\cdot12}{c^{2}},
откуда находим, что
AB^{2}=c^{2}=12\cdot12=12^{2}.
Следовательно, AB=c=12
.