13164. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отмечены точки D
и E
таким образом, что AD:DB=BE:EA=1:6
. Найдите AB
, если известно, что площадь треугольника ABC
равна 42, а тангенс угла DCE
равен \frac{5}{2}
.
Ответ. 14.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle DCE=\varphi
, а S=42
— площадь треугольника ABC
. Опустим перпендикуляры DK
и EL
на катет AC
. Тогда
CK=\frac{6}{7}AC=\frac{6}{7}b,~CL=\frac{1}{7}AC=\frac{1}{7}b,
KD=\frac{1}{7}BC=\frac{1}{7}a,~EL=\frac{6}{7}BC=\frac{6}{7}a.
Из прямоугольных треугольников CLE
и CKD
получаем
\tg\angle ACE=\tg\angle LCE=\frac{EL}{CL}=\frac{\frac{6}{7}a}{\frac{1}{7}b}=\frac{6a}{b},
\tg\angle ACD=\tg\angle KCD=\frac{KD}{CK}=\frac{\frac{1}{7}a}{\frac{6}{7}b}=\frac{a}{6b}.
Тогда
\frac{5}{2}=\tg\angle DCE=\tg(\angle ACE-\angle ACD)=\frac{\tg\angle ACE-\tg\angle ACD}{1+\tg\angle ACE\cdot\tg\angle ACD}=
=\frac{\frac{6a}{b}-\frac{a}{6b}}{1+\frac{6a}{b}\cdot\frac{a}{6b}}=\frac{35ab}{6(a^{2}+b^{2})}=\frac{35ab}{6c^{2}}=\frac{35\cdot2S}{6c^{2}}=\frac{35\cdot84}{6c^{2}}=\frac{35\cdot14}{c^{2}},
откуда находим, что
AB^{2}=c^{2}=14\cdot14=14^{2}.
Следовательно, AB=c=14
.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2019, задача 5, вариант 3