13165. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отмечены точки D
и E
таким образом, что AD:DB=BE:EA=1:7
. Найдите AB
, если известно, что площадь треугольника ABC
равна 56, а тангенс угла DCE
равен 3.
Ответ. 16.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle DCE=\varphi
, а S=56
— площадь треугольника ABC
. Опустим перпендикуляры DK
и EL
на катет AC
. Тогда
CK=\frac{7}{8}AC=\frac{7}{8}b,~CL=\frac{1}{8}AC=\frac{1}{8}b,
KD=\frac{1}{8}BC=\frac{1}{8}a,~EL=\frac{7}{8}BC=\frac{7}{8}a.
Из прямоугольных треугольников CLE
и CKD
получаем
\tg\angle ACE=\tg\angle LCE=\frac{EL}{CL}=\frac{\frac{7}{8}a}{\frac{1}{8}b}=\frac{7a}{b},
\tg\angle ACD=\tg\angle KCD=\frac{KD}{CK}=\frac{\frac{1}{8}a}{\frac{7}{8}b}=\frac{a}{7b}.
Тогда
3=\tg\angle DCE=\tg(\angle ACE-\angle ACD)=\frac{\tg\angle ACE-\tg\angle ACD}{1+\tg\angle ACE\cdot\tg\angle ACD}=
=\frac{\frac{7a}{b}-\frac{a}{7b}}{1+\frac{7a}{b}\cdot\frac{a}{7b}}=\frac{48ab}{7(a^{2}+b^{2})}=\frac{48ab}{7c^{2}}=\frac{48\cdot2S}{7c^{2}}=\frac{48\cdot112}{7c^{2}}=\frac{48\cdot16}{c^{2}},
откуда находим, что
AB^{2}=c^{2}=16\cdot16=16^{2}.
Следовательно, AB=c=14
.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2019, задача 5, вариант 4