13167. Окружность радиуса 2 касается стороны AC
треугольника ABC
в её середине и пересекает сторону BC
в точках K
и L
, причём BK=KL=LC
. Чему может равняться AB
, если \angle ABC=45^{\circ}
?
Ответ. 3\pm\sqrt{7}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, её радиус равен r=2
, F
— середина стороны AC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
, BK=KL=LC=x
.
Треугольники BKO
и CLO
равны по двум сторонам, так как BK=CL
и OK=OC
(как радиусы окружности) и углу между ними (\angle BKO=\angle CLO
как смежные углы равных углов при основании KL
равнобедренного треугольника KOL
). Значит, OB=OC
. Кроме того, треугольник AOC
равнобедренный, так как его высота OF
является медианой. Значит, OA=OC
. Таким образом, точки A
, B
и C
равноудалены от точки O
, поэтому O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Пусть R
— радиус этой окружности. Тогда
R=OC=\frac{OF}{\cos\angle COF}=\frac{r}{\cos45^{\circ}}=2\sqrt{2}.
По теореме о касательной и секущей
4=r^{2}=OF^{2}=CF^{2}=CL\cdot CK=x\cdot2x=2x^{2},
откуда x=\sqrt{2}
, BC=3x=3\sqrt{2}
, а так как
AC=2CF=2r=4,
то по теореме синусов из треугольника ABC
получаем
\sin\alpha=\frac{BC}{AC}\sin45^{\circ}=\frac{3\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}.
Тогда \cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{7}}{4}
(оба значения достигаются и зависят от того, находятся точки A
и B
по одну сторону от прямой OC
или нет). Следовательно, по теореме синусов
AB=2R\sin\angle ACB=2R\sin(45^{\circ}+\alpha)=2R(\sin45^{\circ}\cos\alpha+\cos45^{\circ}\sin\alpha)=
=R\sqrt{2}(\cos\alpha+\sqrt{3}\sin\alpha)=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\left(\pm\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{3}{4}\right)=3\pm\sqrt{7}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2015, задача 5, вариант 2