13168. Окружность касается стороны BC
треугольника ABC
в её середине и пересекает сторону AB
в точках D
и E
, причём AD=DE=EB
. Чему может равняться радиус окружности, если \angle BAC=30^{\circ}
и AC=\frac{2}{3}
?
Ответ. \sqrt{3}\pm\sqrt{2}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, F
— середина стороны BC
, а искомый радиус окружности равен r
. Обозначим \angle ACB=\gamma
, AD=BE=x
. Тогда DE=2x
.
Треугольники ADO
и BEO
равны по двум сторонам (AD=BE
и AO=BO
как радиусы окружности) и углу между ними (\angle ADO=\angle BEO
как смежные углы равных углов при основании DE
равнобедренного треугольника DOE
). Значит, OA=OB
. Кроме того, треугольник BOC
равнобедренный, так как его высота OF
является медианой. Значит, OC=OB
. Таким образом, точки A
, B
и C
равноудалены от точки O
, поэтому O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Пусть R
— радиус этой окружности. Из прямоугольного треугольника BFO
получаем
BF=OF\tg\angle BOF=r\tg30^{\circ}=\frac{r}{\sqrt{3}},
поэтому BC=2BF=\frac{2r}{\sqrt{3}}
, а по теореме синусов R=\frac{BC}{2\sin30^{\circ}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}
.
По теореме о касательной и секущей
\frac{r^{2}}{3}=\left(\frac{r}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\left(\frac{OF}{\ctg30^{\circ}}\right)^{2}=BF^{2}=BE\cdot BD=x\cdot3x=3x^{2},
откуда x=\frac{r}{3}
, AB=4x=\frac{4r}{3}
.
По теореме синусов \frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}
, откуда
\sin\gamma=\sin\angle ACB=\frac{AB}{BC}\sin\angle BAC=\frac{\frac{4r}{3}}{\frac{2r}{\sqrt{3}}}\cdot\sin30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Тогда \cos\gamma=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
(оба значения достигаются и зависят от того, находятся точки A
и C
по одну сторону от прямой OB
или нет). Следовательно, по теореме синусов
По теореме синусов
\frac{2}{3}=AC=2R\sin\angle ABC=2R\sin(30^{\circ}+\gamma)=R(\cos\gamma+\sqrt{3}\sin\gamma)=
=\frac{2r}{\sqrt{3}}\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+1\right)=\frac{2r}{3}(\sqrt{3}\pm\sqrt{2}).
Следовательно,
r=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}\pm\sqrt{2}}=\sqrt{3}\mp\sqrt{2}.