13175. Точка M
принадлежит катету AC
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
, причём AM=2
, MC=6
. Отрезок MH
— высота треугольника AMB
. Точка D
расположена на прямой MH
так, что угол ADB
равен 90^{\circ}
, и точки C
и D
лежат по одну сторону от прямой AB
. Найдите DC
, если тангенс угла ACH
равен \frac{1}{7}
.
Ответ. \frac{8\sqrt{21}-12}{5}
или 2\sqrt{14}-2\sqrt{2}
.
Решение. Из точек C
и D
отрезок AB
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанные в эту окружность углы ABD
и ACD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Кроме того,
\angle YAD=90^{\circ}-\angle ABD=\angle ADM=\angle ADH=90^{\circ}-\angle BAD=\angle ABD=\angle ACD,
значит, треугольники ACD
и ADM
подобны по двум углам (угол при вершине A
— общий). Тогда
\frac{AM}{AB}=\frac{ASH}{AC}=\frac{MH}{BC},
откуда
AD^{2}=AM\cdot AC=2\cdot8=16,~AD=4,
\frac{MD}{DC}=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},~DC=2MD.
Из точек C
и H
отрезок BM
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром BM
. Вписанные в эту окружность углы MBH
и MCH
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
\tg\angle MBH=\tg\angle MCH=\tg\angle ACH=\frac{1}{7}.
Обозначим
BH=x,~BC=y,~MH=z.
Тогда
\frac{z}{x}=\frac{MH}{BH}=\tg\angle MBH=\frac{1}{7},~x=7z.
По теореме Пифагора
AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{y^{2}+64}.
Из подобия прямоугольных треугольников AMH
и ABC
, учитывая что x=7z
, получаем
\frac{AM}{AB}=\frac{AH}{AC}=\frac{MH}{BC},~\mbox{или}~\frac{2}{\sqrt{y^{2}+64}}=\frac{\sqrt{y^{2}+64}-7z}{8}=\frac{z}{y},
т. е. получаем систему
\syst{16=y^{2}+64-7z\sqrt{y^{2}+64}\\2y=z\sqrt{y^{2}+64}.\\}
Умножив второе уравнение на 7 и вычтя из него первое, после очевидных упрощений получим уравнение y^{2}-14y+48=0
, из которого находим, что y=6
или y=8
.
В первом случае
AB=10,~AD=4,~HM=\frac{6}{5},~BD=\sqrt{100-16}=2\sqrt{21},
DH=\frac{AD\cdot BD}{AB}=\frac{4\cdot2\sqrt{21}}{10}=\frac{4\sqrt{21}}{5},
MD=DH-HM=\frac{4\sqrt{21}-6}{5}.
Следовательно,
DC=2MD=\frac{8\sqrt{21}-12}{5}.
Во втором случае
AB=8\sqrt{2},~AD=4,~HM=\sqrt{2},~BD=\sqrt{128-16}=4\sqrt{7},
DH=\frac{AD\cdot BD}{AB}=\frac{16\sqrt{7}}{8\sqrt{2}}=14,
MD=DH-HM=\sqrt{14}-\sqrt{2}.
Следовательно,
DC=2MD=2\sqrt{14}-2\sqrt{2}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2022, заключительный этап, 11 класс, вариант 4, № 3