13176. Основания трапеции ABCD
связаны соотношением AD=4BC
, сумма углов \angle A+\angle D=120^{\circ}
. На боковых сторонах выбраны точки M
и N
таким образом, что CN:ND=BM:MA=1:2
. Перпендикуляры, восставленные в точках M
и N
к боковым сторонам трапеции, пересекаются в точке O
. Найдите AD
, если AO=1
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Продлим боковые стороны до их пересечения в точке S
. Тогда
\angle ASB=180^{\circ}-\angle SAD-\angle SDA=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Треугольники ASD
и BSC
подобны, с коэффициентом \frac{BC}{AD}=4
, поэтому BS=\frac{1}{3}SA
. Кроме того, по условию BM=\frac{1}{3}AB
, значит, BS=BM
, а AM=\frac{2}{3}AB=MS
. Следовательно, MO
— серединный перпендикуляр к стороне AS
треугольника ASD
. Аналогично, NO
— серединный перпендикуляр к стороне DS
. Таким образом, точка O
— центр описанной около треугольника ASD
окружности, а OA
— её радиус. Тогда по теореме синусов
AD=2OA\sin\angle2OA\sin60^{\circ}=2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Источник: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных программ. — 2022, № 4, 9-10 классы