13177. Известно, что положительные числа x
, y
, z
удовлетворяют системе
\syst{x^{2}+y^{2}+xy=529\\x^{2}+z^{2}+\sqrt{3}xz=441\\z^{2}+y^{2}=144.\\}
Найдите значение выражения \sqrt{3}xy+2yz+xz
.
Ответ. 224\sqrt{5}
.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
с выбранной внутри него такой точкой O
, что OA=y
, OB=z
, OC=x
и из которой стороны AB
, AC
и BC
видны под углами 90^{\circ}
, 120^{\circ}
и 150^{\circ}
соответственно. Тогда первые два уравнения данной системы представляют собой теорему косинусов для треугольников AOC
и BOC
, а третье — теорему Пифагора для треугольника AOB
, причём AC=23
, BC=21
и AB=12
.
Теперь заметим, что
\sqrt{3}xy+2yz+xz=4S_{\triangle AOC}+4S_{\triangle AOB}+4S_{\triangle BOC}=
=4(S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC})=4S_{\triangle ABC}.
По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{28\cdot16\cdot7\cdot5}=56\sqrt{5}.
Следовательно,
\sqrt{3}xy+2yz+xz=4\cdot56\sqrt{2}=224\sqrt{5}.