13179. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а боковые стороны образуют угол 30^{\circ}
. Основания равны 6 и 2. Найдите квадрат высоты трапеции.
Ответ. 3.
Решение. Пусть ABCD
— данная трапеция с основаниями AD=6
и BC=2
. Обозначим AB=a
и CD=b
. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то суммы квадратов его противоположных сторон равны (см. задачу 1344), поэтому
a^{2}+b^{2}=36+4=40.
Через вершину C
параллельно боковой стороне AB
проведём прямую, пересекающую AD
в некоторой точке M
. Из условия задачи следует, что \angle DCM=30^{\circ}
, а так как CM=AB=a
, CD=b
, а DM=6-2=4
, то по теореме косинусов
a^{2}+b^{2}-ab\sqrt{3}=16.
Вычитая из первого равенства второе, получим, что ab\sqrt{3}=24
. Значит,
S_{\triangle DCM}=\frac{1}{2}ab\sin30^{\circ}=\frac{1}{4}ab=\frac{1}{4}\cdot\frac{24}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.
Пусть h
— высота треугольника DCM
, проведённая из вершины C
. Тогда h
— высота данной трапеции, а
S_{\triangle DCM}=\frac{1}{2}DM\cdot h=2h,
откуда
h=\frac{S_{\triangle DCM}}{2}=\sqrt{3}.
Следовательно, h^{2}=3
.
Источник: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных программ. — 2017, № 6, 9 класс