13180. Докажите, что для любого треугольника со сторонами a
, b
и c
и противолежащими им углами \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно выполняются равенства
a^{2}+b^{2}-2ab\cos(60^{\circ}+\gamma)=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(60^{\circ}+\alpha)=
=a^{2}+c^{2}-2ab\cos(60^{\circ}+\beta).
Решение. Пусть площадь треугольника равна S
. По формуле косинуса суммы
\cos(60^{\circ}+\gamma)=\frac{1}{2}(\cos\gamma-\sqrt{3}\sin\gamma),~\cos(60^{\circ}+\alpha)=\frac{1}{2}(\cos\alpha-\sqrt{3}\sin\alpha),
поэтому
a^{2}+b^{2}-2ab\cos(60^{\circ}+\gamma)=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(60^{\circ}+\alpha)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}-ab(\cos\gamma-\sqrt{3}\sin\gamma)=b^{2}+c^{2}-bc(\cos\alpha-\sqrt{3}\sin\alpha)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}-ab\cos\gamma-\sqrt{3}ab\sin\gamma=b^{2}+c^{2}-bc\cos\alpha-\sqrt{3}bc\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}-ab\cos\gamma-\sqrt{3}\cdot2S=b^{2}+c^{2}-bc\cos\alpha-\sqrt{3}bc\cdot2S~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{2}-ab\cos\gamma=c^{2}-bc\cos\alpha~\Leftrightarrow
Последнее равенство верно, так как по теореме косинусов
ab\cos\gamma=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),~bc\cos\alpha=\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}).
Первое равенство доказано. Второе доказывается аналогично.
Источник: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных программ. — 2016, № 3