13189. В параллелограмме ABCD
отмечена точка K
, для которой AB=BK=KC
. Докажите, что центр параллелограмма равноудалён от середин всех сторон треугольника AKD
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей, E
— середина отрезка AK
, F
— середина отрезка KD
, M
— середина отрезка AD
. Тогда OE
— средняя линия треугольника треугольника ACK
, поэтому OE=\frac{1}{2}CK
. Аналогично, OF
и OM
— средние линии треугольников BDK
и ABD
соответственно, поэтому
OF=\frac{1}{2}BK,~OM=\frac{1}{2}AB,
а так как CK=BK=AB
, то OE=OF=OM
. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2021, заключительный этап, задача 2, 8 класс