13192. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность \omega
. Точки M
и N
лежат на сторонах AD
и CD
соответственно. Прямые, проходящие через M
и N
и параллельные соответственно AB
и BC
, пересекаются в точке P
, лежащей внутри четырёхугольника ABCD
, а прямая BP
повторно пересекает \omega
в точке Q
, лежащей на дуге CD
. Докажите, что точки M
, N
, P
, Q
лежат на одной окружности
Решение. Первый способ. Четырёхугольник BADQ
вписанный, поэтому \angle BAD+\angle PQD=180^{\circ}
. Из параллельности AB
и MP
следует, что \angle BAD=\angle PMD
, поэтому \angle PMD+\angle PQD=180^{\circ}
. Следовательно, четырёхугольник PMDQ
вписанный.
Четырёхугольник BCQD
тоже вписанный, поэтому \angle BCD=\angle BQD=\angle PQD
. Из параллельности BC
и PN
следует, что \angle BCD=\angle PND
. Значит, \angle PND=\angle PQD
. Следовательно, четырёхугольник PNQD
тоже вписанный.
Из вписанности четырёхугольников PMDQ
и PNQD
следует, что точки P
, M
, N
, Q
, D
лежат на одной окружности.
Второй способ. Четырёхугольник BCDQ
вписанный, поэтому прямые QD
и BC
антипараллельны относительно пары прямых BQ
и CD
. По условию BC\parallel NP
, следовательно, прямая QD
антипараллельна NP
относительно той же пары прямых. Значит, четырёхугольник PNDQ
является вписанным. Аналогично доказывается, что PMDQ
вписанный. Таким образом, точки P
, M
, N
, Q
, D
лежат на одной окружности
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2021, заключительный этап, задача 4, 9-10 классы