13193. В угол AOC
вписаны окружности \Omega_{1}
и \Omega_{2}
(радиус \Omega_{1}
больше). Окружность \Omega_{1}
касается сторон угла в точках A
и B
, а окружность \Omega_{2}
— в точках D
и C
соответственно. Точка M
— середина отрезка BC
. Прямые MA
и MD
вторично пересекают окружности \Omega_{1}
и \Omega_{2}
соответственно в точках X
и Y
. Прямые BX
и CY
пересекаются в точке Z
. Докажите что прямая MZ
проходит через середину отрезка AD
.
Решение. По теореме о касательной и секущей
MA\cdot MX=MB^{2}=MC^{2}=MY\cdot MD,
Значит, четырёхугольник ADXY
вписанный (см. задачу 114).
Обозначим \angle CBX=\alpha
, \angle DAX=\beta
. Тогда
\angle XYM=180^{\circ}-\angle DYX=\angle DAX=\beta.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle YCM=\angle YDC
, а так как ABCD
— равнобедренная трапеция, то
\angle CYM=\angle DCM=180^{\circ}-\angle DAB=180^{\circ}-\alpha-\beta.
Тогда
\angle XYC=\angle XYM+\angle CYM=\beta+(180^{\circ}-\alpha-\beta)=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle CBX.
Значит, четырёхугольник BXYC
тоже вписанный.
Из этого получаем, что ZX\cdot ZB=ZY\cdot ZC
, поэтому точка Z
лежит на радикальной оси окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
. На ней же лежат точка M
и середина отрезка AD
(см. задачу 6122). Отсюда следует утверждение задачи.