13196. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом B
. На стороне AC
выбрана точка K
, причём \angle CBK=15^{\circ}
. На луче BK
отмечена точка M
, причём \angle ACM=90^{\circ}
. Докажите, что AC=BM
.
Решение. Проведём высоту BE
треугольника ABC
. Тогда BE
— медиана и биссектриса этого треугольника. Из треугольника BEK
получаем
\angle KBE=\angle CBE-\angle CBK=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ},
поэтому BK=2EK
.
Из треугольника CMK
получаем
\angle KMC=\angle KBE=30^{\circ},~KM=2CK.
Следовательно,
BM=BK+KM=2EK+2CK=2(EK+CK)=2CE=AC.
Что и требовалось доказать.