13201. Дан треугольник ABC
, в котором AB=BC
и \angle ABC=90^{\circ}
. На стороне AC
выбрана такая точка P
, что AP=AB
, на стороне BC
выбрана такая точка Q
, что BQ=BH
. Докажите, что прямые PQ
и AB
параллельны.
Решение. Пусть BH
— высота треугольника ABC
. Из прямоугольного треугольника BHP
находим, что
\angle PBH=90^{\circ}-\angle APB.
В то же время,
\angle PBQ=\angle ABC-\angle ABP=90^{\circ}-\angle APB=\angle PBH.
Треугольники PBH
и PBQ
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle BQP=\angle BHP=90^{\circ}=\angle BAC.
Следовательно, PQ\parallel AB
.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2014, заключительный этап, задача 6, 7 класс