13203. Точка B
— середина отрезка AC
. Квадрат ABDE
и равносторонний треугольник BCF
расположены в одной полуплоскости от прямой AC
. Найдите (в градусах) величину угла между прямыми CD
и AF
.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые CD
и AF
пересекаются в точке O
. Заметим, что точки A
, D
, F
и C
лежат на окружности с центром в точке B
. При этом центральный угол CBF
соответствует вписанному углу CAF
, поэтому
\angle CAF=\frac{1}{2}\angle CBF=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=\angle CBF=30^{\circ}.
Аналогично,
\angle ACD=\frac{1}{2}\angle ABD=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AOD=\angle CAF+\angle ACD=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2013, заключительный этап, задача 2, 9 класс