13207. Пусть x
, y
и z
— произвольные действительные числа. Какое наименьшее значение может принимать выражение
\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+(x-y)^{2}}+\sqrt{1+(y-z)^{2}}+\sqrt{1+(3-z)^{2}}?
Ответ. 5.
Решение. Заметим, что
d=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+(x-y)^{2}}+\sqrt{1+(y-z)^{2}}+\sqrt{1+(3-z)^{2}}=
=\sqrt{(1-0)^{2}+(x-0)^{2}}+\sqrt{(2-1)^{2}+(x-y)^{2}}+
+\sqrt{(3-2)^{2}+(y-z)^{2}}+\sqrt{(4-3)^{2}+(3-z)^{2}},
т. е. d
— это сумма звеньев ломаной ABCDE
с узлами A(0;0)
, B(1;x)
, C(2;y)
, D(3;z)
, E(4;3)
. Значит, по обобщённому неравенству треугольника
d\geqslant AE=\sqrt{(4-0)^{2}+(3-0)^{2}}=5,
причём равенство достигается в случае, когда ломаная ABCDE
целиком окажется на отрезке AE
, т. е. когда векторы \overrightarrow{AB}=(1;x)
, \overrightarrow{BC}=(1;y-x)
, \overrightarrow{CD}=(1;z-y)
и \overrightarrow{DE}=(1;3-z)
сонаправлены. Решив систему
x=y-x=z-y=3-z,
получим x=\frac{3}{4}
, y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}
, z=\frac{9}{4}
.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2012, заключительный этап, задача 5, 11 класс