13208. Какую наибольшую длину может иметь четвёртая сторона выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями, если три других стороны равны 15, 10 и 7 (в порядке убывания длин)? В ответе укажите квадрат длины четвёртой стороны.
Ответ. 276.
Решение. Пусть четвёртая сторона равна x
. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то суммы квадратов его противоположных сторон равны (см. задачу 1344). Значит, наибольшая сторона четырёхугольника лежит против наименьшей из трёх данных. Тогда x^{2}+49=225+100
, откуда x^{2}=276
. Следовательно, квадрат наименьшей четвёртой стороны равен 276.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2021, отборочный этап, задача 4, 11 класс