13211. Найдите высоту AH
треугольника ABC
, которая его медиану BM=27
делит пополам, если известно, что BC=30
. В ответ запишите квадрат высоты AH
.
Ответ. 1316.
Решение. На продолжении медианы BM
за точку M
отложим отрезок MD=BM
. Тогда ABCD
— параллелограмм, AD=BC=30
.
Пусть K
— точка пересечения BM
и AH
. Учитывая, что K
— середина отрезка BM
, из подобия треугольников BKH
и DKA
получаем
\frac{BH}{AD}=\frac{BK}{KD}=\frac{1}{3},
откуда
BH=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}\cdot30=10.
Пусть DP
— перпендикуляр к прямой BC
. Тогда AHPD
— прямоугольник, поэтому
BP=BH+HP=BH+AD=10+30=40.
Следовательно, по теореме Пифагора
AH^{2}=DP^{2}=BD^{2}-BP^{2}=54^{2}-40^{2}=14\cdot94=1316.