13212. На диагонали BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
отмечена точка E
, причём AB=DE
и BC=AE
. Оказалось также, что \angle CBD=\angle BAE=14^{\circ}
, \angle BCD=138^{\circ}
. Найдите \angle ABD
.
Ответ. 56^{\circ}
Решение. Достроим треугольник CBE
до параллелограмма BCFE
. Тогда
EF=BC=AE,~DE=AB,~\angle DEF=\angle CBD=14^{\circ}=\angle BAE,
поэтому треугольник DEF
равен треугольнику BAE
по двум сторонам и углу между ними. Значит, DF=BE
.
Из треугольника BCD
находим, что
\angle BDC=180^{\circ}-14^{\circ}-138^{\circ}=28^{\circ},
а так как CA\parallel BD
, то
\angle DCF=\angle BDC=28^{\circ}.
Треугольник CDF
равнобедренный, так как DF=BE=CF
, поэтому
\angle CDF=\angle DCF=28^{\circ}.
Следовательно,
\angle ABD=\angle ABE=\angle EDF=\angle EDC+\angle CDF=28^{\circ}+28^{\circ}=56^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2021, отборочный этап, задача 9, 8 класс