13213. Медианы неравнобедренного остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке G
, точка M
— середина стороны BC
. Окружность с центром G
и радиусом GM
пересекает сторону BC
в точке N
, отличной от M
. Точка S
симметрична вершине A
относительно точки N
. Докажите, что GS\perp BC
.
Решение. Пусть MD
— диаметр данной окружности. Тогда
AD=AM-GM=3GM-DM=3GM-2GM=GM=GD,
поэтому D
— середина отрезка AG
, а так как N
— середина AS
, то DN
— средняя линия треугольника AGS
. Значит, DN\parallel GS
. Точка N
лежит на окружности с диаметром DM
, поэтому \angle DNM=90^{\circ}
, т. е. DN\perp BC
. Следовательно, GS\perp BC
. Что и требовалось доказать.