13214. Внутри треугольника ABC
нашлась такая точка P
, что AP=BP=CP
и величины углов APB
, BPC
и CPA
относятся как 2:3:4
. Найдите наибольший угол треугольника ABC
.
Ответ. 80^{\circ}
.
Решение. Положим \angle APB=2t
, \angle BPC=3t
, \angle CPA=4t
. Тогда 2t+3t+4t=360^{\circ}
, откуда
t=40^{\circ},~\angle APB=80^{\circ},~\angle BPC=120^{\circ},~\angle CPA=160^{\circ}.
Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, поэтому
\angle ACB=\frac{1}{2}\angle APB=40^{\circ},~\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BPC=60^{\circ},
\angle ABC=\frac{1}{2}\angle CPA=80^{\circ}.
Следовательно, наибольший угол треугольника ABC
— это угол ABC
, и \angle ABC=80^{\circ}
.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2020, второй этап, задача 2, 7-8 классы