13215. В равнобедренном треугольнике ABC
одна из сторон видна из центра O
описанной окружности под углом 100^{\circ}
. Какое наименьшее значение может принимает угол A
этого треугольника?
Ответ. 25^{\circ}
.
Решение. Пусть основание XY
равнобедренного треугольника XYZ
видна из центра O
описанной окружности под углом 120^{\circ}
. Тогда либо
\angle XZY=\frac{1}{2}\angle XOC=50^{\circ},
если точки O
и Z
лежат по одну сторону от прямой XY
, либо
\angle XZY=\frac{1}{2}(360^{\circ}-100^{\circ})=130^{\circ},
если точки O
и Z
лежат по разные стороны от прямой XY
.
В первом случае углы при основании треугольника XYZ
равны по 65^{\circ}
, а во втором — по 25^{\circ}
.
Следовательно, наименьшее значение угла A
равнобедренного треугольника ABC
равно 25^{\circ}
(и это угол при основании треугольника).
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2020, первый этап, задача 2, 9-10 классы